LIMIETEN

Column 02.10 van Ad Blankestijn

Met klas 4B, de vroegere gevreesde jongensklas 3C, moest ik de differentiaalrekening behandelen.
Daarvoor is enig begrip van limieten nodig. Rekenkundige rijen en reeksen zijn niet instructief wat
limieten betreft, maar meetkundige wel.
1
Een oude bekende is 100, 50, 25, … (a = 100 en r = 2 ). De volgende term is steeds de helft van
de vorige. De verdere termen worden daardoor almaar kleiner. Ze naderen de waarde 0, de limiet.
Ik vroeg waarom de limiet 0 is. Waarom niet – 1 ? De termen naderen toch ook tot – 1 ?

Tot mijn verbazing begonnen de jongens druk door elkaar te praten, en soms ook te schreeuwen.
Duidelijk was dat ze hadden begrepen wat een limiet is: “Je kan er net zo dichtbij komen als je wil,
als je maar ver genoeg doorgaat.” Epsilon-delta !
Welke term is de eerste die minder dan 0,001 van 0 verschilt ? [Los op: 100(0,5)n–1 < 0,001] 1 In dit geval is de formule voor de som van de eerste n termen 200{1 – (2 )n} waarmee ik de som 1 1 7 van de eerste drie termen liet berekenen: 200{1 – ( 2)3} = 200(1 – )8 = 200 — =8 175 Het was bijna iedereen meteen duidelijk dat de limiet 200 is. “Steeds meer termen optellen, steeds minder verschil met 200.” Vanaf welk aantal termen is dit verschil minder dan 0,001 ? [Los op: 200(0,5)n < 0,001]In de laatste tien minuten van deze les stipte ik de verschijnselen divergentie en convergentie aan. De leerlingen kenden deze woorden uit de lessen natuurkunde over spiegels en lenzen. Ze zagen in dat een rij waarvan de termen onbeperkt groeien, geen convergerende reeks oplevert (voorbeelden: de RR 1, 3, 5, ... of de MR 1, 2, 4, ...). Maar in het geval van de MR 1, 1 , 1 , ... wel. 2 4 Waarom ? “Er komt steeds minder bij, want de termen krimpen naar nul”. Ik nam me voor de harmonische reeks te laten zien en ook iets over Nicolas d’Oresme te vertellen.[text-blocks id="column-ad-blankestijn"]