RAAKLIJN IN

Column 02.34 A van Ad Blankestijn

De raaklijn aan een kromme in een punt (x1, y1) op de kromme heeft de vorm y – y1 = m (x – x1).
De richtingscoëfficiënt m is de afgeleide van een al dan niet impliciete functie voor x = x1 of y = y1
zoals in de volgende gevallen.

Gegeven de cirkel x2 + y2 = R2 met raakpunt (x1, y1).
Afgeleide naar x: 2x + 2yy’ = 0 ⇒ x1 + y1· m = 0
De vergelijking van de raaklijn is: y1(y – y1)= y1· m (x – x1) ⇒ yy1 – y12 = – xx1 + x12 ⇒
yy1 + xx1 = x12 + y12 = R2

yy1 + xx1 = R2 Ferdinand Joachimsthal (1818 – 1861)

Gegeven de parabool y2 = 2px met raakpunt (x1, y1).
Afgeleide naar x: 2yy’ = 2p ⇒ y1· m = p
De vergelijking van de raaklijn is: y1(y – y1)= y1· m (x – x1) ⇒ yy1 – y12 = px – px1 ⇒
yy1 = y12 + px – px1 = 2px1 + px – px1 = px + px1 = p(x + x1)
Ferdinand Joachimsthal was hoogleraar wiskunde
yy1 = p(x + x1) aan de universiteit van Halle, later aan die van Breslau.
Hij droeg bij aan de theorie van de kegelsneden.

Deze werkwijze kan in het algemeen worden gevolgd.
Neem het geval van de kromme x2 – 2xy + 4y2 = 4 (een geroteerde ellips) met raakpunt (2, 0).
Impliciete differentiatie geeft: 2x – 2(y + xy’) + 8yy’ = 0 ⇒ x – y – xy’ + 4yy’ = 0
De richtingscoëfficiënt m van de raaklijn in (2, 0) volgt uit x1 – y1 – mx1 + 4my1 = 0
na substitutie van x1 = 2 en y1 = 0: 2 – 0 – 2m + 4m·0 = 0 ⇒ m = 1 waardoor de vergelijking
van de gezochte raaklijn kan worden genoteerd als y – 0 = 1(x – 2) ofwel y = x – 2


Ad-Blankestijn-column

Deze column werd geschreven door Ad Blankestijn, de oprichter van Instituut Blankestijn. Ad Blankestijn was vernieuwend. Als bevlogen onderwijsman introduceerde hij het particulier onderwijs in Nederland. In 1965 stichtte hij zijn eigen school: Instituut Blankestijn. In 2015 overleed Ad Blankestijn.

Blankestijn gaf les, voerde persoonlijk de directie en was ook vaak in het weekeinde op zijn instituut te vinden. Dat Instituut verwierf een uitstekende reputatie, met prima opgeleide medewerkers en goede examenresultaten. In 1999 bouwde Blankestijn zijn concept ‘laatste twee jaar in één‘ uit tot een volledige opleiding van klas 1 tot en met het examenjaar.
Baanbrekend was Ad Blankestijn eveneens, toen hij in 2003 als eerste begon met de particuliere basisschool.

In 2008 nam hij afscheid van zijn instituut. Hij nam zich voor om vooral veel te blijven lezen en zich te blijven ontwikkelen, een eis die hij ook aan zijn medewerkers stelde. Hij bracht zijn laatste jaren door in zijn geliefde Frankrijk en schreef toen deze columns.

Het Instituut wordt door Frans van Heijningen met de huidige medewerkers als een familiebedrijf voortgezet, overeenkomstig het gedachtengoed van Ad Blankestijn.