RAAKLIJN UIT

Column 02.35 A van Ad Blankestijn

Een vergelijking van een raaklijn aan een kromme uit een punt (x1, y1) met richtingscoëfficiënt m
heeft de vorm y – y1 = m(x – x1). Hierbij kan “snijden met D = 0” worden toegepast. Voorbeelden:

De snijpunten van een lijn y = mx + n met een cirkel x2 + y2 = R2 kunnen worden gevonden uit
de “snijvergelijking” x2 + (mx + n)2 = R2 ⇒ (m2 + 1)x2 + 2mnx + n2 – R2 = 0

Als D > 0, dan zijn er twee waarden voor x en daarmee ook twee snijpunten.
Als D < 0, dan zijn er geen snijpunten. Als D = 0, dan zijn er twee samenvallende waarden voor x zodat er een raakpunt is.De vergelijking van een raaklijn uit (– 2, – 1) aan de parabool y2 = 4x wordt als volgt gevonden.De voorlopige vergelijking van een raaklijn is y + 1 = m(x + 2) ⇒ y = mx + 2m – 1De snijvergelijking is (mx + 2m – 1)2 = 4x ⇒ m2x2 + 4m2 + 1 + 4m2x – 2mx – 4m – 4x = 0 ⇒ m2x2 + 2(2m2 – m – 2)x + 4m2 – 4m + 1 = 0D = 4(2m2 – m – 2)2 – 4m2(4m2 – 4m + 1) = 4{(2m2 – m – 2)2 – m2(4m2 – 4m + 1)} = 4{4m4 + m2 + 4 – 4m3 – 8m2 + 4m – 4m4 + 4m3 – m2} = 4(– 8m2 + 4m + 4) = – 16(2m2 – m – 1) 1 D = 0 ⇒ 2m2 – m – 1 = 0 ⇒ (2m + 1)(m – 1) = 0 ⇒ m1 = – 2 en m2 = 1 1 1 1 Er zijn twee oplossingen: y=– 2 x + 2(– 2 )–1 ⇒ y=– 2 x–2 zie tekening van 02.33 A y = 1· x + 2·1 – 1 ⇒ y=x+1[text-blocks id="column-ad-blankestijn"]