COMBINATIES

Column 04.06 van Ad Blankestijn

Een greep van k elementen uit n elementen heet een combinatie. De volgorde van de k elementen
doet er niet toe. Voorbeeld: hoeveel mogelijkheden zijn er om vier kaarten te trekken uit een pak
van 52 kaarten ? Voor de eerste kaart bestaan 52 mogelijkheden. Voor de tweede kaart zijn er 51,
voor de derde 50 en voor de vierde 49 mogelijkheden. Samen 52 × 51 × 50 × 49 mogelijkheden.
Dit getal wordt nu vermenigvuldigd met 48 × 47 × 46 × 45 × … × 4 × 3 × 2 × 1 = 48! en meteen
erdoor gedeeld. Dit slimmigheidje leidt tot een compacte formule. Maar de gevonden viertallen zijn
de permutaties van vier kaarten. Daarom moet 52 × 51 × 50 × 49 ook nog door 4! worden gedeeld
om het gevraagde aantal mogelijkheden te berekenen. De algemene formule voor n boven k is dan

n! Als de macht (a + b)8 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
n
= moet worden omgezet in een veelterm, is de voorste term klaarblijkelijk aaaaaaaa
k (n – k)! k!
ofwel a8. In de volgende term is één a vervangen door een b. Het resultaat is 8a7b.

Bij afspraak geldt voor de voorste term k = 0 en voor de volgende termen k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
(de gezochte veelterm is dus een negenterm). Nu 8 over 2 berekenen. De teller is 8·7·6·5·4·3·2·1
en de noemer is (6·5·4·3·2·1)(2·1). Dat komt neer op 8·7 gedeeld door 2. Coëfficiënt: 28.
Verder: 8·7·6·5·4·3·2·1 gedeeld door (5·4·3·2·1)(3·2·1) ofwel 8·7·6 gedeeld door 6. Coëfficiënt: 56.
Bij de berekening van 8 over 4 wordt 8·7·6·5·4·3·2·1 gedeeld door (4·3·2·1)(4·3·2·1).
Nu zijn (n – k)! en k! gelijk. Coëfficiënt: 70.

Resultaat: (a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8
8 8!
Met behulp van de definitie 0! = 1 kan de coëfficiënt van a8 worden berekend: = = 1
0 (8 – 0)! 0!


Ad-Blankestijn-column

Deze column werd geschreven door Ad Blankestijn, de oprichter van Instituut Blankestijn. Ad Blankestijn was vernieuwend. Als bevlogen onderwijsman introduceerde hij het particulier onderwijs in Nederland. In 1965 stichtte hij zijn eigen school: Instituut Blankestijn. In 2015 overleed Ad Blankestijn.

Blankestijn gaf les, voerde persoonlijk de directie en was ook vaak in het weekeinde op zijn instituut te vinden. Dat Instituut verwierf een uitstekende reputatie, met prima opgeleide medewerkers en goede examenresultaten. In 1999 bouwde Blankestijn zijn concept ‘laatste twee jaar in één‘ uit tot een volledige opleiding van klas 1 tot en met het examenjaar.
Baanbrekend was Ad Blankestijn eveneens, toen hij in 2003 als eerste begon met de particuliere basisschool.

In 2008 nam hij afscheid van zijn instituut. Hij nam zich voor om vooral veel te blijven lezen en zich te blijven ontwikkelen, een eis die hij ook aan zijn medewerkers stelde. Hij bracht zijn laatste jaren door in zijn geliefde Frankrijk en schreef toen deze columns.

Het Instituut wordt door Frans van Heijningen met de huidige medewerkers als een familiebedrijf voortgezet, overeenkomstig het gedachtengoed van Ad Blankestijn.