PRIEMGETALLEN (2)

Column 03.27 van Ad Blankestijn

Priemgetallen zijn oneven, behalve 2, het kleinste. De eenvoudigste vorm van een oneven getal is
2n – 1 (voor n = 1, 2, 3, … komt er 1, 3, 5, …). De vorm 4n + 1 stelt ook een oneven getal voor
(voor n = 1, 2, 3, … komt er 5, 9, 13, …). Deze vorm geeft niet alle oneven getallen, en zeker niet
alleen priemgetallen, maar de priemgetallen van deze vorm zijn de som van twee kwadraten, zoals
5 = 12 + 22, 13 = 22 + 32, 17 = 12 + 42, 29 = 22 + 52, 37 = 12 + 62, 41 = 42 + 52, 53 = 22 + 72.
De vorm 6n + 1 geeft 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, …
De vorm 6n – 1 geeft 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95, 101, 107, …

Het is duidelijk dat de laatste twee vormen niet uitsluitend priemgetallen voortbrengen. Maar zou
het omgekeerde waar zijn ? Neem een priemgetal, 65537, tel 1 erbij op en deel dan 65538 door 6.
Daaruit blijkt dat het vierde Fermat-getal de vorm 6n – 1 heeft (6 × 10923 – 1). Het vijfde getal
van Fermat, 4294967297, is niet priem (zoals Euler in 1732 kon aantonen: 641 × 6700417), maar
heeft niettemin de vorm 6n – 1 (6 × 715827883 – 1).

Beschouw de vormen 6n – 1 en 6n + 1 voor n = 1, 2, 3, … Dat geeft 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19,
23 en 25, 29 en 31, 35 en 37, 41 en 43, 47 en 49, 53 en 55, 59 en 61, 65 en 67, 71 en 73, …

Marin Mersenne (1588 – 1648), priester en veelzijdig geleerde, bevriend met Descartes, Fermat en
andere beroemdheden, onderzocht getallen met de vorm 2n – 1 voor n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,
67, 127 en 257. Let wel: 211 – 1 = 2047 = 23 × 89. De jacht op Mersenne-priemen is nog actueel.

Ook de Grieken zochten naar priemgetallen. Eratosthenes / Qratoscenhç (276 – 196), de geleerde
die de omtrek van de Aarde wist te bepalen, werd nog beroemder door de uitvinding van de “zeef”
waarmee hij priemgetallen kon afzonderen uit de verzameling van de natuurlijke getallen.


Ad-Blankestijn-column

Deze column werd geschreven door Ad Blankestijn, de oprichter van Instituut Blankestijn. Ad Blankestijn was vernieuwend. Als bevlogen onderwijsman introduceerde hij het particulier onderwijs in Nederland. In 1965 stichtte hij zijn eigen school: Instituut Blankestijn. In 2015 overleed Ad Blankestijn.

Blankestijn gaf les, voerde persoonlijk de directie en was ook vaak in het weekeinde op zijn instituut te vinden. Dat Instituut verwierf een uitstekende reputatie, met prima opgeleide medewerkers en goede examenresultaten. In 1999 bouwde Blankestijn zijn concept ‘laatste twee jaar in één‘ uit tot een volledige opleiding van klas 1 tot en met het examenjaar.
Baanbrekend was Ad Blankestijn eveneens, toen hij in 2003 als eerste begon met de particuliere basisschool.

In 2008 nam hij afscheid van zijn instituut. Hij nam zich voor om vooral veel te blijven lezen en zich te blijven ontwikkelen, een eis die hij ook aan zijn medewerkers stelde. Hij bracht zijn laatste jaren door in zijn geliefde Frankrijk en schreef toen deze columns.

Het Instituut wordt door Frans van Heijningen met de huidige medewerkers als een familiebedrijf voortgezet, overeenkomstig het gedachtengoed van Ad Blankestijn.