DE IRRATIONALITEIT VAN √3

Column 04.19 A van Ad Blankestijn

Een geheel getal is even als het na deling door 2 een geheel getal oplevert. Voorbeeld: 10 is even,
want 10 : 2 = 5 en 5 is geheel (dat 5 oneven is, doet er niet toe; het gaat erom dat 5 geheel is).
Ook 0 is even, want 0 : 2 = 0. Algemeen geldt: 2k is even en 2k + 1 is oneven (met k geheel).

Som en product van even getallen zijn even: 2a + 2b = 2(a + b) en (2a)(2b) = 4ab = 2(2ab)

De som van twee oneven getallen is even: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)
Dat geldt ook voor hun product: (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1
Het product van een even en een oneven getal is even: (2a)(2b + 1) = 4ab + 2a = 2(2ab + a)

Stel dat √3 rationaal is: √3 = m met m en n geheel, maar niet beide even.
n
2
m
Kwadrateren geeft 2 = 3 ofwel m2 = 3n2 waaruit volgt:
n
als m even, dan m2 even, dus 3n2 even. Dat leidt tot n2 even en n even, wat is uitgesloten;
als m oneven, dan m2 oneven, dus 3n2 oneven; alleen mogelijk als n2 oneven, dus n ook.

Stel dus m = 2p + 1 en n = 2q + 1 met p en q geheel. Uit m2 = 3n2 volgt dan

4p2 + 4p + 1 = 3(4q2 + 4q + 1) ⇒
4p2 + 4p + 1 = 12q2 + 12q + 3 ⇒
4p2 + 4p = 12q2 + 12q + 2 ⇒
2p2 + 2p = 6q2 + 6q + 1 ⇒
2(p2 + p) = 2(3q2 + 3q) + 1 Links even, rechts oneven.
Uit deze tegenspraak blijkt dat √3 irrationaal is.


Ad-Blankestijn-column

Deze column werd geschreven door Ad Blankestijn, de oprichter van Instituut Blankestijn. Ad Blankestijn was vernieuwend. Als bevlogen onderwijsman introduceerde hij het particulier onderwijs in Nederland. In 1965 stichtte hij zijn eigen school: Instituut Blankestijn. In 2015 overleed Ad Blankestijn.

Blankestijn gaf les, voerde persoonlijk de directie en was ook vaak in het weekeinde op zijn instituut te vinden. Dat Instituut verwierf een uitstekende reputatie, met prima opgeleide medewerkers en goede examenresultaten. In 1999 bouwde Blankestijn zijn concept ‘laatste twee jaar in één‘ uit tot een volledige opleiding van klas 1 tot en met het examenjaar.
Baanbrekend was Ad Blankestijn eveneens, toen hij in 2003 als eerste begon met de particuliere basisschool.

In 2008 nam hij afscheid van zijn instituut. Hij nam zich voor om vooral veel te blijven lezen en zich te blijven ontwikkelen, een eis die hij ook aan zijn medewerkers stelde. Hij bracht zijn laatste jaren door in zijn geliefde Frankrijk en schreef toen deze columns.

Het Instituut wordt door Frans van Heijningen met de huidige medewerkers als een familiebedrijf voortgezet, overeenkomstig het gedachtengoed van Ad Blankestijn.