DE PYTHAGOREEËRS EN HUN GETALLEN

Column 02.18 A van Ad Blankestijn

Als wij horen dat een aantal vrienden op bezoek komt, zijn we enigszins verbaasd als er maar één
op de stoep staat. De pythagoreeërs beschouwden één niet als een aantal, een tel-getal, maar wel
als optel-getal. Het eerste tel-getal was twee, maar dat getal werd met enige argwaan beschouwd:
het middelste deel ontbrak. De Grieken gaven getallen namelijk weer door patronen van steentjes,
bijvoorbeeld • (ewç), • • (duo), • • • (treiç). Daarom was drie het eerste volledige tel-getal.
Hierna schrijf ik getallen met onze cijfers: de Grieken beschikten niet over een notatiesysteem om
getallen efficiënt weer te geven (bijvoorbeeld a’ = 1 en ,a = 1000, …). Op het gebied van algebra
hebben zij, vergeleken met hun gigantische prestaties in meetkunde, dan ook niet erg veel bereikt.

1 gold als voortbrenger van de andere getallen: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 1 + 1, …
Die getallen werden ingedeeld in even vrouwelijke (2, 4, 6, …) en oneven mannelijke (3, 5, 7, …).
Het getal van het huwelijk is dan 5, de som van 2 en 3. Heel belangrijk is 4, het aantal elementen
van de stoffelijke wereld: aarde, lucht, vuur, water. En 4 is ook het getal van de rechtvaardigheid:
twee tweetallen • • | • • in evenwicht (wat doet denken aan de weegschaal van Vrouwe Justitia).
Het optellen van de gehele getallen geeft de driehoeksgetallen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … waarvan
10 voor de pythagoreeërs het belangrijkst was: de tetraktuç (afgeleid van tettareç of tetra “4”).

Ook de vierkantsgetallen werden ontdekt. Oneven getallen optellen geeft kwadraten:
1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, …
1
• En de vijfhoeksgetallen (1, 5, 12, 22, 35, …). Algemene formule: Pn = 2 n(3n – 1).
• • Zouden de pythagoreeërs hebben ontdekt dat ieder pentagonaal getal de som is van
• • • drie triangulaire getallen (zoals 1 + 3 + 1 = 5, 3 + 6 + 3 = 12, 6 + 10 + 6 = 22) ?
• • • • De drie triangulaire getallen zijn twee gelijke met hun opvolger. Bewijs (voor n > 1):
de tetraktus
1 1 3 1 1
Pn = 2Tn–1 + Tn = 2{ 2 (n – 1)(n)} + 2
n(n + 1) = 2
n2 – 2
n= 2
n(3n – 1)


Ad-Blankestijn-column

Deze column werd geschreven door Ad Blankestijn, de oprichter van Instituut Blankestijn. Ad Blankestijn was vernieuwend. Als bevlogen onderwijsman introduceerde hij het particulier onderwijs in Nederland. In 1965 stichtte hij zijn eigen school: Instituut Blankestijn. In 2015 overleed Ad Blankestijn.

Blankestijn gaf les, voerde persoonlijk de directie en was ook vaak in het weekeinde op zijn instituut te vinden. Dat Instituut verwierf een uitstekende reputatie, met prima opgeleide medewerkers en goede examenresultaten. In 1999 bouwde Blankestijn zijn concept ‘laatste twee jaar in één‘ uit tot een volledige opleiding van klas 1 tot en met het examenjaar.
Baanbrekend was Ad Blankestijn eveneens, toen hij in 2003 als eerste begon met de particuliere basisschool.

In 2008 nam hij afscheid van zijn instituut. Hij nam zich voor om vooral veel te blijven lezen en zich te blijven ontwikkelen, een eis die hij ook aan zijn medewerkers stelde. Hij bracht zijn laatste jaren door in zijn geliefde Frankrijk en schreef toen deze columns.

Het Instituut wordt door Frans van Heijningen met de huidige medewerkers als een familiebedrijf voortgezet, overeenkomstig het gedachtengoed van Ad Blankestijn.